vchilka.in.ua 1

2009

Задачі заочного туру


з математики та інформатики факультету кібернетики

Група «А»


1.
Розв’язати систему рівнянь в натуральних числах :






2. Назвемо тетраміно таким чином: пряме, косе, квадратне (згори донизу на рисунках).

Чи можна квадрат повністю заповнити без накладань такими наборами з 25 тетраміно:

а) 4 прямих та 21 косе тетраміно;

б) 4 прямих, 20 косих та 1 квадратне тетраміно;


3. На клітчатій дошці розміром , двоє гравців по черзі малюють многокутники (не обов’язково опуклі) одиничної площі з вершинами у вузлах сітки. Забороняється малювати многокутник, який має спільні точки з вже намальованими. Програє той, хто не може намалювати черговий многокутник. Хто виграє у цій грі, якщо своїм першим ходом першій гравець не може ламаною проходити через кутову клітину?


4. Довести нерівність: .


5. Чи існує одинадцятицифрове число, яка має таку властивість, якщо до нього додати одинадцятицифрове число, яке записане тими ж цифрами, але у зворотному порядку, то одержана сума буде мати лише непарні цифри?

6. Позначимо через – цілу дійсного частину числа , тобто найбільше ціле число, що не перевищує . Розв’язати рівняння: .



7. Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, дорівнює 10 см. Довести, що з цього трикутника можна вирізати круг площею 50 см2.


8. Доведіть, що якщо три кола однакового радіуса проходять через одну точку, то три інші точки їх попарного перетину лежать на колі того ж радіуса.


9. Нехай – сторони трикутника, , . Довести, що .


10. Розв’язати рівняння .


Група «Б»


1. Корінь.
Кожний вхідний рядок містить натуральні числа n та p. Обчислити значення та вивести його з чотирма знаками після десяткової коми.


Приклад входу

Приклад виходу

81 4

3.0000

10 3

2.1544


2. Друзі. За круглим столом зібралося p друзів. Перед спілкуванням всі вони одночасно потиснули один одному руки. При цьому руки жодних друзів не перетиналися. Скількома способами друзі можуть зробити таке рукостискання, якщо p – парне число.

Кожний вхідний рядок містить значення p.


Приклад входу

Приклад виходу

4

2

8

14


3. Щасливі п’ятірки. На світі існують люди, які вважають п’ятірку щасливим числом. Вони кидають декілька гральних кісток, і якщо п’ятірка випаде більше ніж в одній п’ятій частині кісток, то день вважається щасливим. Кидається dice однакових кісток, кожна з яких має sides сторін. Обчислити ймовірність того, що день буде щасливим. Ймовірність випадання п’ятірки при киданні кістки з sides сторонами дорівнює 1 / sides.

Кожний вхідний рядок містить два числа: dice та sides
(1 ≤ dice ≤ 20, 5 ≤ sides ≤ 10).


Приклад входу

Приклад виходу

1 6

0.1666

5 6

0.1962

20 10

0.0431

4. Гра. Двоє гравців грають в наступну гру. Перший гравець розташував декілька куп монет перед другим та просить його вибрати одну або декілька куп. При цьому найбільший спільний дільник (НСД) кількості монет в обраних купах має дорівнювати 1. Наприклад, із куп {2, 3, 4} можна обрати лише підмножини {2, 3}, {2, 3, 4}, {3, 4}. НСД одного числа вважати рівним йому самому. За кількістю монет в заданих купах обчислити кількість способів, якими другий гравець може зробити свій вибір.


Кожен рядок є окремим тестом. Перше число в рядку – кількість куп монет n (2 ≤ n ≤ 100). Наступні n чисел характеризують кількість монет в кожній купці.


Приклад входу

Приклад виходу

3 2 4 3

3

4 2 2 2 4

0

1 1

1

6 2 5 98872 23298 32872 23111

45


5. Шахи. Із шахової дошки розміром rows на cols вирізано декілька клітин. Знайти найбільшу кількість тур, яку можна розташувати на дошці так, щоб вони не били одна іншу. Тура атакує по горизонталі та вертикалі. Вирізані клітини не є перешкодами для атакуючих тур. Розташовувати туру на вирізаній клітині забороняється.

Перший рядок кожного тесту містить значення rows та cols (3 ≤ rows, cols ≤ 100). Другий рядок описує координати вирізаних клітин. Кожна вирізана клітина задається парою “row col”. Координати вирізаних клітин розділяються комами.


Приклад входу

Приклад виходу

3 3

0 0, 1 0, 1 1, 2 0, 2 1, 2 2

2

3 3

0 1, 1 0, 1 2, 2 1

3