vchilka.in.ua 1

Поняття множини, рівність множин. Підмножина. Булеан множини.


Операція об’єднання множин, її властивості. Операція перетину множин, її властивості. Спільні властивості операцій об’єднання та перетину. Різниця множин, її властивості. Симетрична різниця множин, її властивості. Декартовий добуток множин.
Відповідності та відображення (функції). Приклади відображень. Типи відображень. Характеристичні функції підмножин, Скінченні та зчисленні множини. Властивості зчислених множин. Зчисленність множин Z та Q. Існування незчисленних множин. Приклади незчисленних множин.
Визначення добутку відображень. Властивості операції множення відображень. Тотожна підстановка, її роль. Обернене відображення, єдиність оберненого відображення. Критерій існування оберненого відображення.
Перетворення множин. Підстановки множин. Підстановки скінченних множин та підстановки множини {1, . . . , n}. Таблична форма запису підстановки. Множення у табличній формі. Теорема про кількість підстановок. Парність підстановки, сигнатура підстановки. Пари індексів, що утворюють інверсію відносно підстановки. Парність добутку підстановок. Транспозиції, їх парність. Роль транспозицій.
Матриці. Додавання матриць. Властивості операції додавання. Добуток матриць. Властивості операції множення матриць. Спільні властивості множення та додавання матриць. Обернена матриця, теорема про єдність оберненої матриці. Операція множення матриці на число, її властивості. Операція транспонування матриці, її властивості.
Означення визначника квадратної матриці.

Властивості сум, індексованих за допомогою підстановок.

Властивості визначників. Теорема про визначник добутку двох матриць.

Метод Гауса знаходження визначника.

Мінори матриць та їх алгебраїчні доповнення. Роль мінорів та алгебраїчних доповнень.

Розклад матриці за рядком.

Теорема Лапласа.

Приклади матриць, що не мають оберненої. Критерій існування оберненої матриці. Її знаходження.

Алгебраїчна форма запису комплексних чисел. Вид елементів та основні операції над ними. Вигляд комплексних чисел, правила дій над комплексними числами. Абсолютна величина та аргумент комплексного числа. Комплексно спряжені числа, властивості спряження. Тригонометрична форма комплексних чисел. Множення комплексних чисел у тригонометричній формі. Формула Муавра. Формула коренів з комплексного числа. Корені з одиниці, їх властивості. Примітивні корені з одиниці, критерій примітивності кореня.

Зовнішнє множення. Поняття векторного (лінійного) простору. Елементарні властивості. Приклади векторних просторів. Підпростори, критерій підпростору. Приклади підпросторів векторних просторів.

Приклади підпросторів простору матриць.

Лінійна оболонка множини, вид елементів лінійної оболонки.

Властивості лінійної оболонки, лема про заміну. Вільні множини, критерій лінійної незалежності. Підмножини вільних множин. Максимальні вільні підмножини множин елементів векторного простору. Породжуючі множини. Базис, його характеристики. Існування базису, вимірність простору. Приклади базисів векторних просторів. Вимірність підпростору. Координати вектора. Матриця переходу, її властивості. Закон зміни координат при зміні базису. Ранг системи векторів. Ранг матриці. Теорема про ранг матриці. Ранг добутку матриць.

Сума підпросторів. Пряма сума векторних просторів. Доповнення підпростору.
Визначення лінійних відображень та їх елементарні властивості.

Ізоморфні простори. Теорема про мономорфізми. Теореми про лінійні відображення для скінченновимірних векторних просторів.

Лінійний простір HomF(L1, L2)

Алгебра лінійних перетворень.

Лінійні відображення, їх матриці. Закон зміни матриці лінійного відображення при зміні базисів.
Системи лінійних рівнянь.

Теорема Кронекера – Капеллі. Теорема Крамера.

Загальний метод розв’язування систем лінійних рівнянь.

Однорідні системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків, її знаходження.
Інваріантні підпростори, підпростір L(λ). Власні вектори і власні значення лінійних перетворень. Характеристичний поліном лінійного перетворення.

Визначення власних векторів та власних значень лінійних перетворень. Властивості власних векторів, що відповідають різним власним значенням.

Лінійні перетворення з простим спектром.

Білінійні білінійні форми. Елементарні властивості. Роль симетричних та знакозмінних форм. Матриця білінійної форми, закон її зміни при заміні базису.

Квадратичні форми. Критерій Сільвестра. Приведення квадратичної форми до канонічного виду, метод Лагранжа.
Евклідові простори, поняття норми вектора. Ортонормований базис, процес ортогоналізації. Ортогональне доповнення до підпростору.