vchilka.in.ua 1 2 3 4
Розділ 8. Лінійні перетворення лінійних просторів.


§1. Основні поняття теорії лінійних перетворень.

1. Мотивація. У розділі 6 було показано, що якщо два базиси , лінійного простору зв’язані матрицею переходу , , , то координати , вектора в базисах , відповідно, зв’язані співвідношенням . Формулу можна витлумачити і інакше, а саме: якщо вектор має координати в деякій системі координат, то йому ставиться у відповідність вектор з координатами в тій самій системі координат за формулою . Іншими словами, співвідношення визначає функцію, яка кожному векторові лінійного простору ставить у відповідність деякий вектор того самого простору. В цьому розділі ми будемо систематично вивчати саме такі функції.



2. Означення та приклади. Якщо кожному векторові лінійного простору поставлено у відповідність єдиний вектор того самого простору, то кажуть, що задано перетворення цього простору, яке будемо позначати . При цьому вектор називається прообразом, а вектор – образом перетворення .

Перетворення лінійного простору називається лінійним, якщо для нього справджуються такі умови:
1.

2. .

Приклади. 1. Поворот тривимірного евклідового простору навколо якої-небудь осі, що проходить через початок координат, на який-небудь кут є лінійним перетворенням цього простору, яке кожному векторові ставить у відповідність вектор, отриманий поворотом вектора на кут навколо даної осі. Перевірити виконання умов 1, 2 як вправу.


2. Позначимо через який-небудь двовимірний підпростір тривимірного евклідового простору. Кожному векторові простору поставимо у відповідність вектор , який є ортогональною проекцією вектора на підпростір. Перевірити, що для такого перетворення справджуються умови 1, 2.

3. Нехай – вимірний лінійний простір і нехай – деяка квадратна матриця порядку . Векторові простору поставимо у відповідність вектор того самого простору за правилом . Перевіримо, що так визначене перетворення лінійне. Справді, за відповідними властивостями множення матриць­,
,
.

4. В лінійному просторі многочленів, степінь яких не перевищує , покладемо . Це перетворення лінійне:

,
.
5. В просторі неперервних на проміжку функцій покладемо . Таке перетворення лінійне:
,
.
Перетворення , яке кожному векторові ставить у відповідність той самий вектор , , є лінійним і називається одиничним, або тотожним перетворенням.

Перетворення , яке кожний вектор відображує в нуль-вектор, , є лінійним і називається нульовим перетворенням.

Зазначимо, що будь-яке лінійне перетворення відображує нульовий вектор в самого себе:
.

3. Образ лінійного підпростору. Нехай – лінійне перетворення простору і нехай – який-небудь підпростір цього простору. Позначимо через сукупність образів всіх векторів підпростору при дії лінійного перетворення , . будемо називати образом лінійного підпростору, а сам лінійний підпростір – прообразом.


Теорема про образ лінійного підпростору. Кожне лінійне перетворення лінійного простору відображує будь-який лінійний підпростір в лінійний підпростір, до того ж вимірність образу не перевищує вимірності прообразу.

Доведення. Нехай – лінійне перетворення простору , – підпростір цього простору і нехай – пара яких-небудь векторів сукупності. Тоді існують такі вектори підпростору, що , . Звідси, для будь-якої пари чисел
,
тобто в сукупність разом з кожною парою векторів входить і їх довільна лінійна комбінація, тому є лінійним підпростором.

Припустимо, що. Розглянемо в який-небудь базис . Згідно з припущенням, , тому система векторів лінійно залежна. Звідси,існує нетривіальна нульова лінійна комбінація . Подіємо лінійним перетворенням на обидві частини цієї рівності:

.
Звідси,
,
тобто вектори лінійно залежні, що суперечить умові. Таким чином, . Теорему доведено.

4. Умови існування та єдиності лінійного перетворення. Два лінійних перетворення лінійного простору збігаються, якщо .

Теорема існування та єдиності лінійного перетворення. Для будь-якого базису лінійного простору і будь-якої системи векторів цього простору існує єдине лінійне перетворення простору , яке задовольняє умови
. (1)

Доведення. Побудуємо перетворення лінійного простору за таким правилом: для будь-якого вектора
. (2)

Покажемо, що перетворення лінійне. Нехай . Тоді


,
.
Легко побачити, що побудоване за формулою (2) лінійне перетворення задовольняє умови (1). Справді, поклавши в рівності (2) отримуємо , .

Доведемо єдиність, тобто покажемо, що якщо для лінійного перетворення лінійного простору справджуються умови (1), то лінійне перетворення збігається з лінійним перетворенням . Справді, для будь-якого вектора
.
Теорему доведено.



следующая страница >>