vchilka.in.ua 1
Питання до екзамену


  1. Основні рівняння математичної фізики.

  2. Основні задачі для РМФ, фізичний зміст крайових умов.

  3. Коректність задач для РМФ.

  4. Приклад Адамара.

  5. Задача Коші для РЧП в нормальній формі, теорема Ковалевської.

  6. РЧП ІІ порядку лінійні в головній частині, формули перетворення при заміні.

  7. Закон інерції. Теорема про зведення до канонічної форми.

  8. Класифікація РЧП ІІ порядку лінійних в головній частині.

  9. Зведення до канонічної форми рівнянь ІІ порядку на площині (параболічний тип).

  10. Зведення до канонічної форми рівнянь ІІ порядку на площині (еліптичний тип).

  11. Зведення до канонічної форми рівнянь ІІ порядку на площині (гіперболічний тип).

  12. Рівняння струни, його розв’язання.

  13. Задача Коші для рівняння струни, формула Д’Аламбера.

  14. Метод біжучих хвиль для Задачі Коші рівняння струни.

  15. І крайова задача для напівобмеженої струни.

  16. Зміст умов узгодження в І крайовій задачі.

  17. Метод непарного продовження в першій крайовій задачі з умовою закріпленого кінця.

  18. Метод біжучих хвиль в першій крайовій задачі з умовою закріпленого кінця.

  19. ІІ крайова задача для напівобмеженої струни.

  20. ІІ крайова задача для напівобмеженої струни з умовою вільного кінця.

  21. Метод парного продовження ІІ крайової задачі з умовою вільного кінця.

  22. Крайові задачі для обмеженої струни на відрізку.

  23. Метод Фур’є відокремлення змінних для рівняння струни.

  24. Задача Штурма-Ліувіля (загальна постановка).

  25. Задача Штурма-Ліувіля І крайової задачі.

  26. Розв’язання І крайової задачі для рівняння струни.

  27. Властивості розв’язків задачі Штурма-Ліувіля.

  28. Розв’язання крайової задачі для неоднорідного рівняння струни.
  29. Неоднорідна крайова задача для рівняння струни. Зведення до однорідної.


  30. Принцип максимуму для рівняння теплопровідності в обмежених областях.

  31. Теорема єдності розв’яку І крайової задачі для рівняння теплопровідності.

  32. Принцип максимуму для рівняння теплопровідності в необмежених областях.

  33. Теорема єдності розв’яку задачі Коші для рівняння теплопровідності.

  34. Стабілізація розв’язків рівняння теплопровідності.

  35. Теорема існування та єдності розв’яку задачі Коші.

  36. Принцип Дюамеля .

  37. Гармонічні функції.

  38. Зв’язок гармонічних функцій і аналітичних функцій комплексної змінної.

  39. Формули Гріна.

  40. Лема про тепловий потік (фізичний зміст).

  41. Сферично-симетричні розв’язки рівняння Лапласа.

  42. Поняття б-подібної сім’ї.

  43. Фундаментальний розв’язок оператора Лапласа.

  44. Потенціали та їх властивості.

  45. Методи та прийоми обчислення потенціалів.

  46. Представлення гармонічних функцій через потенціали.

  47. Представлення довільних функцій через потенціали.

  48. Функція Гріна задачі Діріхле для рівняння Лапласа.

  49. Властивості функції Гріна задачі Діріхле.

  50. Принцип максимуму для гармонічних функцій.

  51. Теорема про середнє значення гармонічної функції по сфері.

  52. Теорема про середнє значення гармонічної функції по кулі.

  53. Теорема єдності розв’язку задачі Діріхле для рівняння Пуассона.

  54. Теорема порівняння для задачі Діріхле для рівняння Пуассона.

  55. Теорема про неперервну залежність розв’язків від даних задач Діріхле для рівняння Пуассона.

  56. Функція Гріна для кулі.

  57. Розв’язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа.

  58. Формула Пуассона розв’язку задачі Діріхле для рівняння Лапласа. Теорема про розв’язок задачі Діріхле для рівняння Лапласа.

  59. Нерівність Харнака.
  60. Наслідок з нерівності Харнака. Перша теорема Ліувіля.


  61. Оцінка похідних гармонічних функцій.

  62. Друга теорема Ліувіля.

  63. Оператор Лапласа в полярних координатах.

  64. Зовнішні задачі для рівняння Лапласа задачі Діріхле.

  65. Зовнішня задача Неймана.

  66. Крайова задача для рівняння Лапласа в прямокутних областях.

  67. Крайова задача для рівняння Лапласа в кругових областях.

  68. Теорема про послідовність гармонічних функцій.

  69. Теорема про компактність сім’ї гармонічних функцій.

  70. Узагальнені похідні тах властивості.

  71. Простори H1(Ω), H0,1(Ω).

  72. Нерівність Фрідріхса.

  73. Середні функції та їх властивості.

  74. Поняття узагальненого розв’язку задачі Діріхле для рівняння Пуассона.

  75. Теорема існування єдності розв’язку задачі Діріхле для рівняння Пуассона.

  76. Гладкість узагальнених розв’язків задачі Діріхле для рівняння Лапласа.

  77. Метод Гальоркіна наближеного розв’язку задачі Діріхле для рівняння Пуассона.

  78. Варіаційний метод.