vchilka.in.ua 1 2 3
§2. Сумісні та несумісні лінійні системи.


1. Критерій сумісності. У першому розділі ми розглянули крамерові системи лінійних рівнянь, - системи, в яких число рівнянь збігається з числом невідомих, до того ж визначник системи не дорівнює нулеві, і показали, що єдиний розв’язок такої системи можна знайти або за правилом Крамера, або методом Гауса.

Перейдемо до дослідження систем лінійних алгебраїчних рівнянь в яких число рівнянь і число невідомих жодним чином не зв’язані між собою. Зокрема, будемо розглядати і такі системи, в яких число рівнянь збігається з числом невідомих, але визначник системи дорівнює нулеві.

Розглянемо систему лінійних рівнянь
, (2)
кількість невідомих в якій може бути меншою, більшою або дорівнювати числу рівнянь. Нагадаємо, що розв’язком системи (2) називається будь-яка сукупність чисел , при підстановці яких в систему (2) замість невідомих кожне рівняння системи перетворюється в тотожність. Система, яка має принаймні один розв’язок, називається сумісною. Якщо ж система не має розв’язків, то вона називається несумісною.

Матриця
,
складена з коефіцієнтів при невідомих системи (2), називається матрицею системи, а матриця
,
яка отримується з матриці долученням стовпчика вільних членів, називається розширеною матрицею системи (2).

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і лише тоді, коли ранг матриці системи збігається з рангом її розширеної матриці.

Доведення. Перепишемо систему (2) у такому вигляді

. (3)
Якщо стовпчики системи (3) розглядати як вектори лінійного простору і позначити , , , то рівності (3) можна стисло записати у векторній формі:
. (4)
Припустимо, що система (2) має розв’язок . Тоді справджується рівність
,
тобто вектор є лінійною комбінацією векторів , тому . Звідси, , тобто максимальне число лінійно незалежних векторів системи збігається з максимальним числом лінійно незалежних векторів системи . За теоремою про ранг матриці .

Навпаки, нехай тепер . Це означає, що будь-який базисний мінор матриці є базисним і для розширеної матриці . З теореми про базисний мінор випливає, що стовпчик вільних членів є лінійною комбінацією тих стовпчиків матриці , які утворили базисний мінор, а тому є лінійною комбінацією всіх стовпчиків матриці :
. (5)
Порівнюючи останню рівність з рівністю (4), доходимо висновку, що набір коефіцієнтів лінійної комбінації (5) є розв’язком системи (2). Теорему доведено.

2. Максимальна лінійно незалежна підсистема. Нехай система (2) сумісна, тобто , . Не зменшуючи загальності, можна вважати, що базисний мінор матриці лежить у верхньому лівому кутку цієї матриці. Цього легко досягти, переставивши місцями рядки та стовпчики розширеної матриці. останніх рівнянь системи (2), які відповідають рядкам розширеної матриці , що не перетинають базисного мінора, не є незалежними рівняннями, а є наслідками перших рівнянь. Справді, за теоремою про базисний мінор кожний з останніх рядків розширеної матриці є лінійною комбінацією її перших рядків. Відповідно, кожне з останніх рівнянь системи є лінійною комбінацією перших рівнянь. Далі, кожне з останніх рівнянь напевно перетвориться в тотожність при деяких значеннях невідомих, якщо при цих значеннях перетворюється в тотожність кожне з перших рівнянь. Навпаки, якщо - який-небудь розв’язок системи (2), то цей набір чисел є розв’язком системи, що складається з перших рівнянь.


Підсистема рівнянь системи (2), коефіцієнти яких утворюють базисний мінор матриці, називається максимальною лінійно незалежною підсистемою системи (2).

Таким чином, система (2) і її максимальна лінійно незалежна підсистема еквівалентні, а тому всі рівняння, які не ввійшли в максимальну лінійно незалежну підсистему, можна опустити.
Приклад. Дослідити задану систему на сумісність та виділити еквівалентну їй максимальну лінійно незалежну підсистему:
.
Складемо розширену матрицю заданої системи

і знайдемо її ранг. Для цього помножимо перший рядок спочатку на -2 і результат додамо до другого рядка, а потім – на -3 і додамо до третього рядка:

Помножимо другий рядок на -1 і додамо до третього рядка:
.
У верхньому лівому кутку лежить ненульовий мінор другого порядку:
,

а у всі мінори третього порядку входить нульовий третій рядок, тому кожен з них дорівнює нулеві. Звідси, . Оскільки вказаний мінор другого порядку є і мінором матриці , то . Звідси, за теоремою Кронекера-Капеллі, задана система сумісна. Базисний мінор лежить у перших двох рядках, тому перших два рівняння лінійно незалежні, а третє рівняння є наслідком перших двох. Отже, задана система еквівалентна своїй максимальній лінійно незалежній підсистемі



§3. Системи лінійних однорідних рівнянь.

1. Підпростір розв’язків. Якщо вільні члени всіх рівнянь лінійної системи дорівнюють нулеві, то така система називається однорідною. Однорідна система
(6)
завжди сумісна. Справді, сукупність нулів є розв’язком системи (6). Цей розв’язок називається нульовим, або тривіальним.

Запишемо однорідну систему (6) у матричному вигляді
, (7)
де

Зазначимо, що кожний розв’язок однорідної системи (6) можна розглядати як вектор простору .

Теорема. Множина всіх розв’язків лінійної однорідної системи утворює лінійний підпростір простору .

Доведення. Множина розв’язків лінійної однорідної системи непорожня, оскільки їй належить нульовий розв’язок. Нехай , - два довільні розв’язки системи (7), тобто , . З властивостей дій над матрицями випливає, що для довільних чисел ,

,
тобто довільна лінійна комбінація розв’язків системи (7) сама є розв’язком цієї системи, а це означає, що множина розв’язків однорідної системи є лінійним підпростором простору . Теорему доведено.


2. Вимірність підпростору розв’язків. Ранг матриці системи лінійних однорідних рівнянь будемо називати рангом цієї системи, а лінійний підпростір її розв’язків будемо позначати .

Лема. Якщо ранг лінійної однорідної системи дорівнює , то підпростір розв’язків цієї системи має лінійно незалежних векторів.

Доведення. Можна вважати, що базисний мінор матриці системи (6) лежить у верхньому лівому кутку. Тоді система (6) еквівалентна підсистемі перших рівнянь
. (8)

Якщо , то детермінант системи (8) не дорівнює нулеві і, за правилом Крамера, система має лише нульовий розв’язок. Отже, в цьому випадку підпростір розв’язків складається лише з нульового вектора, , тому , тобто вимірність підпростору розв’язків збігається з величиною .


Нехай тепер . Залишимо зліва перших доданків кожного рівняння системи (8), а всі решта доданки перенесемо направо:
. (9)
Невідомі назвемо базисними, а всі решта – вільними. Коефіцієнти лівих частин системи (9) утворюють визначник, який збігається з базисним мінором , , тому систему (9) можна розв’язати за правилом Крамера відносно невідомих :

Кожний елемент –го стовпчика визначника є сумою доданків. За властивостями визначників 5º, 7º цей детермінант дорівнює сумі відповідних детермінантів:


Таким чином,
(10)

Долучимо до рівностей (10) ще очевидних рівностей


і запишемо отриману систему рівностей в матричній формі:
(11)
Вільним невідомим можна надавати довільних значень, тому позначимо , , . Крім того, кожну матрицю-стовпчик рівності (11) розглядаємо як вектор лінійного простору , а саму рівність (11) – як векторну рівність:
, (12)
де , , , .

Складемо –матрицю з координат векторів .
.

Легко побачити, що ранг цієї матриці дорівнює максимально можливому значенню , оскільки в цю матрицю входить одинична матриця порядку , детермінант якої не дорівнює нулеві. За теоремою про ранг матриці, вектори лінійно незалежні. Враховуючи, що кожний вектор сукупності є розв’язком однорідної системи (8), то підпростір розв’язків однорідної системи має лінійно незалежних векторів. Лему доведено.


Теорема. Підпростір розв’язків лінійної однорідної системи є –вимірним лінійним простором.

Доведення. Нехай – який-небудь розв’язок системи (6), тобто для компонентів цього розв’язку справджуються рівності (10). Покажемо, що система векторів лінійно залежна. Для цього складемо матрицю з компонент цих векторів:

Помножимо кожний з останніх рядків матриці на відповідно і результати додамо до –того рядка. З –тої рівності системи (10) випливає, що в результаті цього додавання –тий рядок матриці стане нульовим. Проробимо описані дії для всіх . В результаті таких елементарних перетворень матриці отримаємо матрицю, перші рядків якої нульові. Оскільки в матрицю входить одинична матриця порядку , то , а це означає, що вектори лінійно залежні. Позаяк вектори лінійно незалежні, то, за теоремою про лінійну залежність, вектор є лінійною комбінацією векторів :

. (13)
За наслідком з леми про лінійні комбінації, підпростір розв’язків системи (6) є –вимірним лінійним підпростором, а вектори є базисом цього підпростору. Теорему доведено.

Сформулюємо наслідок, який випливає з цієї теореми і який надалі буде відігравати важливу роль.

Наслідок. Для того, щоб однорідна система рівнянь з невідомими мала ненульові розв’язки, необхідно і досить, щоб визначник цієї системи дорівнював нулеві.

Справді, нехай в системі (6) і нехай визначник цієї системи дорівнює нулеві, . Тоді . Звідси, і за щойно доведеною теоремою, , тобто система (6) має ненульові розв’язки. Навпаки, якщо ненульовий вектор є розв’язком системи (6), то для будь-якого числа вектор також є розв’язком цієї системи, тобто вимірність підпростору розв’язків не менша від одиниці, . Звідси , що рівносильно тому, що .


3. Загальний розв’язок однорідної системи. Зазначимо, що розв’язок (13) лінійної однорідної системи отримується з рівності (12) при відповідних значеннях параметрів . Іншими словами, будь-який розв’язок однорідної системи можна отримати з рівності (12) певним вибором значень довільних постійних . Саме завдяки цій властивості рівність (12) називається загальним розв’язком лінійної однорідної системи. Базис підпростору розв’язків однорідної системи називається фундаментальною системою розв’язків. Зрозуміло, що будь-який інший базис підпростору розв’язків також буде фундаментальною системою розв’язків.



<< предыдущая страница   следующая страница >>